Пиаже о математическом развитии ребенка
Наиболее разработанной и влиятельной из когнитивных теорий развития считается генетическая эпистемология Ж. Пиаже. В ней непротиворечиво объединены представления о внутренней природе интеллекта и его внешних проявлениях.
В центре концепции Ж. Пиаже — положение о взаимодействии между организмом и окружающей средой, или равновесии. Внешняя среда постоянно изменяется, говорит Пиаже, поэтому субъект, существующий независимо от внешней среды, стремится к установлению равновесия с нею. Установить равновесие со средой можно двумя путями: либо путем приспособления субъектом внешней среды к себе за счет ее изменения, либо путем изменений в самом субъекте. И то и другое возможно только путем совершения субъектом определенных действий. Производя действия, субъект тем самым находит способы или схемы этих действий, которые позволяют ему восстановить нарушившееся равновесие. По Пиаже, схема действия — это сенсомоторный эквивалент понятия, познавательного умения. Таким образом, действие — это «посредник» между ребенком и окружающим миром, с помощью которого он активно манипулирует и экспериментирует с реальными предметами (вещами, их формой, свойствами и т. п.). Развитие схем действий, т. е. познавательное развитие, происходит «по мере нарастания и усложнения опыта ребенка по практическому действованию с предметами» за счет «интериоризации предметных действий, то есть их постепенного превращения в умственные операции Исследования Ж. Пиаже приобрели широкую известность, что способствовало созданию научного направления, названного им генетической эпистемологией.
Первый из них — это механизм ассимиляции, когда индивид приспосабливает новую информацию (ситуацию, объект) к существующим у него схемам (структурам), не изменяя их в принципе, то есть включает новый объект в уже имеющиеся у него схемы действий или структуры. Например, если новорожденный может схватить палец взрослого, вложенный в его ладонь, точно так же он может схватить волосы родителя, кубик, вложенный ему в руку, и т. п., то есть каждый раз он приспосабливает новую информацию к имеющимся схемам действий. Таким образом, понятие совершенствуется, что позволяет в дальнейшем начать различать, например, понятия «волосы» и «шуба».
Другой — это механизм аккомодации, когда индивид приспосабливает свои прежде сформированные реакции к новой информации (ситуации, объекту), то есть он вынужден перестроить (модифицировать) старые схемы (структуры) с целью их приспособления к новой информации (ситуации, объекту). Например, если ребенок будет продолжать сосать ложечку с целью утоления голода, то есть пытаться приспособить новую ситуацию к существующей схеме — сосанию (механизм ассимиляции), то вскоре он убедится, что такое поведение неэффективно (он не может утолить чувство голода и тем самым приспособиться к ситуации) и нужно изменить свою старую схему (сосание), то есть модифицировать движения губ и языка, чтобы забрать с ложечки пищу (механизм аккомодации). Таким образом, появляется новая схема действия (новое понятие). Согласно Пиаже, процесс развития интеллекта состоит из трех больших периодов, в рамках которых происходит зарождение и становление трех основных структур (видов интеллекта). Первая из них — это сенсомоторный интеллект. Сенсомоторный интеллект — в концепции Ж. Пиаже первая стадия в развитии интеллекта от рождения до 2 лет. Мыслительные операции предстают сначала в виде элементарных действий с конкретными предметами (схем действий), затем они интегрируются с другими действиями и в ходе последующего развития интериоризи-руются, что ведет к возникновению собственно мыслительных операций. Сенсорные способности — свойства сенсорной системы, проявляющиеся в ходе ее взаимодействия с внешней средой. Моторные способности — свойства моторной системы, проявляющиеся в ходе ее взаимодействия с внешней средой. Символический интеллект — характеризует в концепции Ж. Пиаже 6-ю субстадию в развитии сенсомоторного интеллекта, которая приходится на период с 18 до 24 месяцев. На этой стадии предмет предстает для ребенка в виде символа, он употребляется им как заместитель объекта, что проявляется в отсроченном подражании, игре «понарошку» и в развитии речи.
Период конкретных операций (2-11/12 лет). В этом возрасте происходит постепенная интериоризация схем действий и превращение их в операции, которые позволяют ребенку сравнивать, оценивать, классифицировать, располагать в ряд, измерять и т. д. Если в период развития сенсомоторного интеллекта основными средствами умственной деятельности ребенка были предметные действия, то в рассматриваемом периоде ими являются операции. Принципиальное отличие состоит в том, что рождение операции — это предпосылка становления собственно логического мышления человека. Если мышление ребенка на стадии сенсомоторного интеллекта предстает в виде системы обратимых действий, выполняемых материально и последовательно, то на стадии конкретных операций оно представляет систему операций, выполняемых в уме, но с обязательной опорой на внешние наглядные данные.
Предметные действия (схема действия) — в концепции Ж. Пиаже это любое действие, совершаемое ребенком: слежение глазами за объектами, поворот головы, ощупывание, схватывание и т. п. Предметное действие — «это то наиболее общее, что сохраняется в действии при его многократном повторении в разных обстоятельствах» (Л. Ф. Обухова). На основе действий формируются новые умственные структуры. Операция — в концепции Ж. Пиаже это «обратимое умственное действие», иными словами, это интериоризированное предметное действие, ставшее обратимым. Эгоцентризм мышления — это скрытая умственная позиция, означающая неспособность индивида изменить исходную позицию по отношению к некоторому объекту, мнению или представлению даже перед лицом очевидных противоречий. Собственная точка зрения абсолютна, что не позволяет понять возможность существования других, противоположных точек зрения. Представление о сохранении — в концепции Ж. Пиаже выступает в качестве критерия возникновения логических операций. Оно характеризует понимание принципа сохранения количества вещества при изменении формы предмета. Представление о сохранении развивается у ребенка при условии ослабления эгоцентризма мышления, что позволяет ему открыть для себя точки зрения других людей и находить в них то общее, что есть в них. Вследствие этого детские представления, бывшие для него ранее абсолютными (например, большие вещи он всегда считает тяжелыми, а маленькие — легкими), теперь становятся относительными (камешек представляется легким ребенку, но оказывается тяжелым для воды). Трансдукция — логический переход от частного к частному, минуя общее. Необратимость мышления — уверенность ребенка в том, что развитие событий и образование связей идет лишь в одном направлении. Обратимость мышления — выражает способность ребенка к теоретическим рассуждениям, поиску причинно-следственных связей, формулированию умозаключений. Центральными характеристиками умственной деятельности ребенка в этот период его познавательного развития являются эгоцентризм мышления ребенка и представление о сохранении. Эгоцентризм мышления обусловливает такие особенности детского мышления, как синкретизм, неумение сосредоточиваться на изменениях объекта, необратимость мышления, трансдукция (от частного к частному), нечувствительность к противоречию, совокупное действие которых препятствует формированию логического мышления. Появление у ребенка представления о сохранении — это условие возникновения обратимости мышления. Именно поэтому, эгоцентризм, представление о сохранении и обратимость мышления являются диагностическими признаками интеллектуального развития ребенка. Внутри этого периода Пиаже выделил дооперациональную стадию, которая характеризует интуитивное, наглядное мышление в возрасте от 2 до 6/7 лет, и стадию конкретных операций (6/7—11/12 лет). В рамках дооперациональной стадии формируются образно-символические схемы, основанные на произвольном сочетании любых непосредственных впечатлений типа «луна ярко светит, потому что она круглая». Это высказывание 4-летнего ребенка многое объясняет в его интеллектуальном развитии. Ребенок в этом возрасте активно опирается на представления о предметах. Отсутствие собственно операций побуждает ребенка устанавливать связи между объектами не на основе логического рассуждения, а интуитивно. Качественное своеобразие мышления дошкольника составляет эгоцентризм — центральная особенность мышления, скрытая умственная позиция ребенка. Суть ее состоит в том, что ребенок видит предметы такими, какими их дает ему его непосредственное восприятие. Например, он думает, что луна следует за ним во время прогулки: останавливается, когда он останавливается, бежит за ним, когда он убегает. Очевидно, что ребенок рассматривает окружающий его мир со своей точки зрения, не осознавая ее. Его точка зрения абсолютна. Он — центр вселенной, и все вращается вокруг него, как планеты вокруг Солнца. Окружающий его мир неотделим от «Я» ребенка, являясь его продолжением. Эгоцентризм означает отсутствие у ребенка осознания собственной субъектности, а с нею и отсутствие объективной меры вещей. Это является причиной того, что ребенок в этом возрасте не понимает, что у других людей могут быть свои представления о чем-либо, отличные от его собственных. Он не понимает, что возможно существование разных точек зрения на один и тот же предмет. Поэтому он не в состоянии взглянуть на объект с позиции другого человека.В свете эгоцентризма протекает вся умственная деятельность дошкольника. Эгоцентризм заставляет ребенка фокусировать внимание только на какой-то одной стороне события, явления или предмета и потому выступает тормозом на пути установления логических связей. Примером этого эффекта являются хорошо известные опыты Пиаже. Если на глазах ребенка налить поровну воды в два одинаковых стакана, то ребенок подтвердит равенство объемов. Но если вы в его присутствии перельете воду из одного стакана в другой, более узкий, то ребенок уверенно вам скажет, что в узком стакане воды стало больше. Вариаций подобных опытов множество, но все они демонстрировали одно и то же — неумение ребенка сосредоточиться на изменениях объекта. Последнее означает, что малыш хорошо фиксирует в памяти лишь устойчивые ситуации, но при этом от него ускользает процесс преобразования. В случае со стаканами ребенок видит лишь результат — два одинаковых стакана с водой в начале и два различных стакана с той же водой в конце, но он не в состоянии уловить момент изменения. Другой эффект эгоцентризма состоит в необратимости мышления, т. е. неспособности ребенка мысленно возвратиться к исходному пункту своих рассуждений. Именно необратимость мышления не позволяет нашему малышу проследить ход собственных рассуждений и, вернувшись к их началу, вообразить стаканы в исходном положении. Отсутствие обратимости — это прямое проявление эгоцентричности мышления ребенка. Стадия конкретных операций (6/7-11/12 лет) возникает, когда ребенок становится способен понять, что два признака объекта (например, его форма и количество вещества в нем) не зависят друг от друга (форма стаканов не влияет на количество воды в них). Одной из центральных характеристик познавательного развития детей в этом возрасте является появление у них представления о сохранении. Появление сохранения — важная ступень в познавательном развитии, поскольку оно способствует обратимости мышления. Обратимость, характеризующая способность ребенка менять направление мысли, умение мысленно вернуться к первичным, исходным данным, позволяет ребенку удерживать в памяти первоначальные данные о количестве жидкости, длине и площади, массе, весе и объеме. Появившееся у младшего школьника представление о сохранении и обратимость предоставляют такую возможность. Наконец, благодаря обратимости ребенок начинает понимать, что сложение — это действие, противоположное вычитанию, а умножение — делению. Поэтому школьники способны проверять правильность решения задачи на вычитание сложением, а на деление — умножением.Процесс интеллектуального развития завершается периодом формальных операций. Период формальных операций (11/12—14/15 лет). В рамках формально-логического интеллекта мыслительные операции могут совершаться без опоры на чувственное восприятие конкретных объектов. Подростки способны оперировать абстрактными понятиями, у них развиваются навыки научного мышления, где главную роль играют гипотезы и дедуктивно-индуктивные умозаключения. Оно позволяет подросткам впервые задать вопрос типа «а что будет, если…», проникать в мысли других людей, принимать в расчет их точки зрения, мотивы, ценности, идеалы.Наличие развитого формально-логического мышления позволяет подростку решать задачи в уме, как бы «прокручивая» в голове все возможные варианты решения задачи, и только после этого опытным путем проверять предполагаемые результаты. Дети, умеющие мыслить только конкретно, вынуждены идти путем проб и ошибок, на ощупь, эмпирически проверяя каждый свой шаг, не пытаясь представить возможные результаты.
Рекомендуемые страницы:
Читайте также:
Воспользуйтесь поиском по сайту:
Источник
Часть II
ВОЗРАСТНАЯ И ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПСИХОЛОГИЯ
ПСИХИЧЕСКОЕ РАЗВИТИЕ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ СТАНОВЛЕНИЯ ЛИЧНОСТИ
Жан Пиаже Как дети образуют математические понятия
Это большая ошибка – думать, что ребенок приобретает понятие числа и другие математические понятия непосредственно в обучении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно, независимо и спонтанно. Когда взрослые пытаются навязать ребенку математические понятия преждевременно, он выучивает их только словесно; настоящее понимание приходит только с его умственным ростом.
Это можно показать на простом опыте. Ребенка 5 или 6 лет родители легко могут научить называть числа от 1 до 10. Если выложить 10 камешков в ряд, ребенок может правильно их сосчитать. Но если выложить камешки в виде более сложной фигуры или нагромоздить их кучей, он уже не может считать их с постоянной точностью. Хотя ребенок знает названия чисел, он еще не уловил существенной идеи числа, а именно, что число объектов в группе остается тем же, «сохраняется» независимо от того, как их растасовать или расположить.
С другой стороны, мы часто обнаруживаем, что ребенок 6 или 7 лет спонтанно образовал понятие числа, хотя до этого его не учили считать. Если ему дать 8 красных и 8 синих кусочков картона, он установит, располагая их попарно «1» к «1», что число красных такое же, как и число синих, и что обе группы остаются равными по числу независимо от формы, которая им придается.
Опыт с соотнесением «1» к «1» полезен и для изучения того, как у детей развивается понятие числа. Выложим ряд из 8 красных кусочков на расстоянии около сантиметра друг от друга и попросим наших маленьких испытуемых взять из ящика столько же синих кусочков. Реакции детей будут зависеть от возраста, и мы можем наметить три стадии развития. Ребенок в возрасте 5 лет и моложе будет выкладывать синие кусочки так, чтобы сделать ряд точно такой же длины, как и красный ряд, при этом красные кусочки он кладет вплотную друг к другу, а не на расстоянии. Он думает, что число остается тем же, если длина ряда такая же. В возрасте около 6 лет дети переходят на вторую стадию; они кладут один синий кусочек против каждого красного и получают правильное число. Но это вовсе не всегда означает, что дети приобрели понятие о самом числе. Если мы раздвинем красные кусочки, сделав расстояние между ними более значительным, то шестилетний ребенок будет думать, что теперь в более длинном ряду больше кусочков, хотя мы и не изменили их число. В возрасте от 6 до 7 достигают третьей стадии: теперь они знают, что, будем ли мы сдвигать или раздвигать ряд, число кусочков в нем остается тем же, что и в другом ряду.
В другом сходном опыте ребенку дают 2 сосуда одинаковой формы и размера и просят вынимать одновременно обеими руками и класть в другие 2 сосуда бусинки: синюю бусинку – в один сосуд правой рукой, а красную бусинку – в другой сосуд левой рукой. Когда ребенок более или менее наполнит сосуды, его спрашивают, как их сравнить. Ребенок уверен, что в обоих сосудах одинаковое число бусинок. Тогда его просят высыпать синие бусы в сосуд другой формы и размера. И теперь снова соответственно возрасту выступают различия в понимании. Младшие дети думают, что число изменилось: если, например, бусы наполняют сосуд до более высокого уровня, ребенок утверждает, что теперь в нем больше бус, чем было в прежнем; если бусы наполняют сосуд до более низкого уровня, ребенок думает, что теперь их меньше. Но дети около 7 лет уже понимают, что перемещение не меняет число бус.
Короче говоря, дети должны уловить принцип сохранения количества, прежде чем они могут образовать понятие числа. Но, конечно, сохранение количества само по себе не является числовым понятием; это скорее логическое понятие. Так эти опыты из области детской психологии бросают некоторый свет на эпистемологию понятия числа, которое являлось предметом исследования многих математиков и логиков.
Исследование того, что ребенок открывает пространственные отношения, что можно назвать спонтанной геометрией ребенка, не менее плодотворно, чем изучение его числовых понятий. Порядок развития идей ребенка в области геометрии кажется обратным порядку их исторического открытия. Научная геометрия начинается с системы Эвклида (трактующей фигуры, углы и т.д.), развивается в XVII столетии в так называемую проективную геометрию (имеющую дело с проблемами перспективы), и, наконец, в XIX столетии приходит к топологии (описывающей пространственные отношения в общем качественном виде, например различие между открытыми и замкнутыми структурами, внешним и внутренним, близостью и разделением). Ребенок начинает с последнего: его первые геометрические открытия являются топологическими. В возрасте 3 лет он легко различает открытые и замкнутые фигуры: если вы попросите его срисовать квадрат или треугольник, он нарисует замкнутый круг; он рисует крест двумя отдельными линиями. Если вы показываете ему рисунок большого круга с маленьким кругом внутри, он может воспроизвести это отношение, но может также нарисовать маленький круг вне большого или соприкасающимся с ним краем. И все это он может сделать прежде, чем сумеет нарисовать прямоугольник или выразить эвклидовы характеристики фигуры (число сторон, углы и т.д.). Лишь значительно позже того, как ребенок овладеет топологическими отношениями, он начинает развивать свои понятия эвклидовой и проективной геометрии. И тогда он строит их одновременно.
Проверим наших юных испытуемых в отношении проективных структур. Сначала мы ставим 2 крайних столбика «решетчатой ограды» (маленькие палочки, вставленные в основания из пластилина) на расстоянии приблизительно 15 дюймов друг от друга и просим ребенка поставить другие столбики по прямой линии между ними. Самые младшие дети (младше 4 лет) ставят один столбик рядом с другим, образуя более или менее волнистую линию. Их подход является топологическим: элементы связаны скорей простым отношением близости, чем проекцией линии как таковой. На следующей стадии, старше 4 лет, ребенок уже может составить прямую линию, если крайние столбики расположены параллельно краю стола или если есть какая-нибудь другая прямая линия, которой ребенок может руководствоваться. Если крайние столбики расположены по диагонали стола, ребенок может начать строить линию параллельно краю стола, а затем меняет направление и образует кривую, чтобы подвести линию к последнему столбику. Случайно малыш может сделать и прямую линию, но она будет лишь одной среди прочих других, получаемых посредством проб и ошибок, а не по системе.
В возрасте 7 лет ребенок может построить прямую ограду всегда и в любом направлении стола, и эту прямую линию он проверяет так: он закрывает один глаз и просматривает направление другим глазом, как это делает садовник, равняя жерди для бобов. Перед нами сущность проективного понятия; линия все еще является топологической линией, но ребенок улавливает, что проективное отношение зависит от угла зрения или «точки зрения».
Это исследование можно продолжить с помощью другого опыта. Например, вы ставите на стол куклу и помещаете перед ней предмет, ориентированный в определенном направлении: карандаш, лежащий наискось, по диагонали или вдоль линии взора куклы, или часы, поставленные или положенные на столе. Затем вы просите ребенка нарисовать, как кукла видит предмет, или, еще лучше, выбрать из 2 или 3 рисунков один, который это изображает. Не ранее чем около 7 или 8 лет ребенок может правильно вывести угол зрения куклы.
Сходный опыт, поставленный для проверки того же вопроса, ведет к такому же заключению. Предметы разной формы помещаются в разных положениях между источником света и экраном, и ребенка просят предсказать, какой будет форма тени от предмета на экране.
Способность координировать разные перспективы проявляется не ранее 9 или 10 лет. Это иллюстрирует опыт, который несколько лет тому назад я подсказал своей сотруднице д-ру Эдит Мейер. Экспериментатор сидит за столом против ребенка и ставит между ним и собой гряду гор, сделанную из картона. Оба видят эту гряду во взаимно обратной перспективе. Ребенка просят выбрать из нескольких рисунков один, соответствующий его собственному виду гряды, и один – ее виду с позиции лица, сидящего против него. Естественно, самые младшие дети могут выбрать только один рисунок, соответствующий их точке зрения; они думают, что все точки зрения подобны их собственной. Еще более интересно, что если ребенок меняется местами с экспериментатором и теперь видит горы с другой стороны, он полагает, что его новая точка зрения является единственно правильной; он не может воспроизвести вид с точки зрения, которая была его собственной непосредственно перед этим. Это хороший пример эгоцентричности, столь характерной для детей, пример примитивного рассуждения, мешающего им понять, что может быть и более чем одна точка зрения.
Дети должны проделать значительную эволюцию, чтобы где-то около 9 или 10 лет начать различать и координировать разные возможные перспективы. На этой стадии дети могут понять проективное пространство в его конкретной или практической форме, но, естественно, не в его теоретических аспектах.
К тому времени, когда ребенок образует представление о проективном пространстве, он также строит и эвклидово пространство; оба построения опираются друг на друга. Так, например, выстраивая ряд столбиков ограды, он может воспользоваться не только методом просмотра, но вытянуть параллельно обе руки, давая этим направление ограде. Он применяет понятие о сохранении направления, которое является эвклидовым принципом. Здесь мы имеем еще одну иллюстрацию того факта, что дети образуют математические понятия на качественном или логическом основании.
Принцип сохранения образуется в разных формах. Первой является сохранение длины. Если вы положите один блок на другой такой же длины, а затем выдвинете один блок так, чтобы его конец выходил за границы другого, то ребенок 6 лет будет утверждать, что оба блока уже не равны по длине. Не ранее чем около 7 лет ребенок начинает понимать, что то, что блок выигрывает на одном конце, он теряет на другом. Нужно отметить — ребенок приходит к этому понятию о сохранении длины путем логического заключения.
Экспериментальное изучение того, как ребенок открывает сохранение расстояния, особенно показательно. Между двумя маленькими игрушечными деревьями, стоящими на расстоянии друг от друга, вы помещаете стену из блоков или куска толстого картена и спрашиваете ребенка (конечно, на его языке), находятся ли теперь деревья на том же расстоянии друг от друга. Самые маленькие дети думают, что расстояние изменилось; они просто не могут сложить 2 части расстояния в одно общее расстояние. Дети 5 или б лет думают, что расстояние уменьшилось, указывая на то, что ширина стены не считается расстоянием; иными словами, заполненное пространство не имеет для них такого же значения, как пустое пространство. Только в возрасте около 7 лет дети приходят к пониманию того, что промежуточные предметы не меняют расстояния.
Как бы вы ни проверяли, вы всегда обнаруживаете следующее; дети не доходят до принципа сохранения длины или поверхности, пока – где-то около 7 лет – не открывают обратимости, которая показывает, что первоначальное количество остается тем же (например, выравнивание блоков одинаковой длины, устранение стены и т.д.). Таким образом, открытие логических отношений является предварительным условием образования геометрических понятий, как это имеет место при образовании понятия о числе.
Это относится и к самому измерению, которое также является производным понятием. Интересно проследить, как дети спонтанно научаются измерять. Д-р Инельдер, одна из моих сотрудниц, и я провели следующий эксперимент: мы показывали ребенку башню из блоков, стоящую на столе, и просили его построить другую башню такой же высоты на другом столе (который был ниже или выше первого) из блоков разного размера. Конечно, мы снабжали ребенка всеми необходимыми измерительными инструментами. Попытки ребенка решить эту задачу проходят поразительную эволюцию. Самые младшие дети строят вторую башню до того же визуального уровня, что и первая, не заботясь о различии в высоте столов. Они сравнивают башни, отступая назад и просматривая их верхушки единым взором. На несколько более высоком этапе развития ребенок кладет на верхушки башен длинный стержень, чтобы удостовериться в том, что они на одном уровне. Несколько позже он замечает, что основание его башни находится не на том уровне, что основание модели. Тогда, чтобы уравнять их, он хочет поместить свою башню рядом с образцом, на том же столе. Вспомнив, что правила игры запрещают передвигать его башню, он начинает оглядываться в поисках средств измерения. Интересно, что первое, приходящее ему на ум, – это его собственное тело. Он кладет одну руку на вершину своей башни, другую – на ее основание и затем, пытаясь сохранить неизменное расстояние между руками, направляется к другой башне, чтобы сравнить это расстояние с нею. Дети около 6 лет делают это весьма уверенно – так, как если бы их руки не могли изменить положения по пути! Вскоре они обнаруживают, что метод не надежен, и тогда прибегают к проекции точек башни на свое тело. Ребенок соотносит свои плечи с вершиной своей башни, против ее основания отмечает рукой точку на своем бедре и направляется к модели посмотреть, является ли расстояние тем же.
В конце концов ребенку приходит мысль о независимом измерительном инструменте. Его первая попытка в этом направлении заключается в том, чтобы построить рядом третью башню такой же высоты, как и та, что он уже воздвиг. Построив эту третью башню, он пододвигает ее к первому столу и ставит рядом с моделью; это допускается правилами. Достижение ребенком этой стадии предполагает процесс логического рассуждения. Если мы назовем башню образец Л, вторую башню С, а перемещаемую башню В, то ребенок рассуждает так: В = С и В = А, поэтому А – С.
Позднее ребенок замещает третью башню стержнем, но сначала стержень должен быть точно такой же длины, как высота башни, подлежащей измерению. Затем он постигает идею использовать более длинный стержень, на котором отмечает пальцем высоту башни. Наконец, – и это начало настоящего измерения – он понимает, что может использовать более короткий стержень и измерить высоту башни, откладывая стержень по ее стороне известное число раз.
Последнее открытие содержит две новые логические операции. Первая – это процесс разделения, который позволяет ребенку понять, что целое состоит из некоторого числа сложенных вместе частей. Вторая – это операция смещения или замещения, которая позволяет ему присоединить одну часть к другой и таким путем создавать систему единиц. Поэтому можно сказать, что измерение есть синтез разделения на части и замещения, подобно тому как число есть синтез включения категорий и сериального порядка. Но измерение развивается позднее, чем понятие числа, потому что труднее разделить непрерывное целое на взаимозаменяемые единицы, чем перечислить уже разделенные элементы.
Чтобы изучить измерение в двух направлениях, мы даем ребенку большой лист бумаги с карандашной точкой на нем и просим поставить точку в том же месте на другом листе такого же размера. Ребенок может воспользоваться палочками, полосками бумаги, веревочками, линейками или любым другим измерительным инструментом, в котором он нуждается. Самые младшие испытуемые довольствуются визуальным приближением, не пользуясь никакими орудиями. Позднее ребенок пользуется измерительным инструментом, но измеряет только расстояние точки от основания или бокового края листа и очень удивляется, что это единичное измерение не дает ему правильного положения точки. Тогда он измеряет расстояние точки от угла листа, пытаясь сохранить тот же наклон (угол) линейки на своем листе. Наконец, в возрасте около 8 или 9 лет он открывает, что должен разделить измерение на 2 операции; горизонтальное расстояние от боковой стороны и вертикальное расстояние от основания или верхнего края. Сходный опыт с бусами в ящике показывает, что ребенок открывает трехмерные измерения приблизительно в том же возрасте.
Измерение в двух или трех направлениях приводит нас к центральной идее эвклидова пространства, а именно к идее осей координат — системы, основанной на горизонтальности или вертикальности физических объектов. Может показаться, что даже маленький ребенок должен был бы понять эти представления, ибо в конце концов он может различить между положениями «прямо вверх» и «лежащее внизу». Но в действительности представление о вертикальных и горизонтальных линиях поднимает совсем другой вопрос об этом субъективном сознании постурального пространства. Д-р Инельдер и я изучали его с помощью следующих опытов: показывая сосуд, наполовину наполненный окрашенной водой, мы просили маленьких испытуемых сказать, каков будет уровень воды, если наклонить сосуд так или иначе. Не ранее 9 лет ребенок постигает идею горизонтальности и начинает отвечать правильно. Сходные опыты с отвесом или с игрушечной парусной лодкой с высокой мачтой демонстрируют, что понимание вертикальности, появляется примерно в то же время. Такое запаздывание в приобретении ребенком этих понятий в действительности не удивительно, так как эти понятия требуют, чтобы ребенок уловил не только внутренние отношения объекта, но также его отношения к внешним элементам (например, к столу, полу или стенам комнаты).
Когда ребенок уясняет себе, как строить эти оси координат по отношению к естественным объектам (что наступает приблизительно в то же время, когда он овладевает координацией разных перспектив), он также достигает понимания того, как надо изображать пространство. Но к этому времени он развивает и свои основные математические понятия, которые возникают спонтанно из его собственных логических операций.
Описанные мною опыты, как они ни просты, были удивительно плодотворны и выявили много неожиданных фактов. Эти факты бросают яркий свет на многие вопросы психологии и педагогики; более того, они учат нас многому о человеческом познании вообще.
Вопросы психологии, 1966, № 4, с.121-126
Источник